薩凱里四邊形（Saccheri quadrilateral）

1733 年，耶穌會神父薩凱里（Giovanni Saccheri）試圖以反證法為歐幾里得辯護：假設平行公設為假，追究其後果，期望撞上矛盾。他為此打造的工具如今以他為名。薩凱里四邊形從底邊 AB 出發，在同一側豎起兩條等長的垂線 AD 與 BC，再以線段 DC 連接其頂端。依作圖，A 與 B 處的兩底角皆為直角，且圖形左右對稱，所以 D 與 C 處的兩個頂角彼此相等。

整個問題歸結為一件事：那兩個相等的頂角是多少？薩凱里僅用所有幾何共有的公理（中立幾何，不假設平行公設）就證明出恰有三種邏輯可能——頂角同為直角、同為鈍角、或同為銳角。直角的情形正是歐幾里得：它迫出平行公設並使圖形成為矩形。鈍角的情形他正確地排除了（它與其他公理矛盾，對應於直線長度有限的球面幾何）。銳角的情形即雙曲世界——而他費盡心力，卻在其中找不到任何矛盾。

薩凱里勉強把銳角情形當作僅僅「違背直線的本性」而發表，誤把自己推不出荒謬，當成不存在荒謬的證明。他在不自知的情況下，比波約與羅巴切夫斯基早整整一個世紀，導出了數十條真正的雙曲幾何定理。誠實的教訓是：他的四邊形並沒有證明歐幾里得；它悄悄地證明了另一種選擇是一致的，恰與他原本想證明的相反。