蘭伯特四邊形（Lambert quadrilateral）

約 1766 年，蘭伯特（Johann Heinrich Lambert）採取與薩凱里相同的策略，卻用了更俐落的圖形。蘭伯特四邊形是有三個直角的四邊形。於是僅剩的「第四個」角就是全部關鍵：在歐氏中它也必須是 90 度（成為矩形），但若幾何是非歐的，這第四角必被迫為鈍角或銳角。它恰是薩凱里四邊形沿對稱軸切開的一半——這正是兩圖形攜帶相同資訊的原因。

走一遍邏輯。三個直角既定，第四角獨自決定一切。第四角為直角 => 歐氏，圖形是矩形，與第四角相鄰的兩邊等於其對邊。第四角為鈍角 => 球面／橢圓幾何。第四角為銳角 => 雙曲幾何，而蘭伯特在此注意到一件先知般的事：角不足的量（角虧）與四邊形的面積成正比，且此幾何表現得彷彿畫在一個虛半徑的球面上。他甚至看出這會迫出一個絕對的長度單位——一件在歐氏中毫無對應的事實。

與薩凱里一樣，蘭伯特希望在銳角情形找到矛盾，卻始終沒有，不過他對自己的失敗較為誠實。他的四邊形之所以重要，在於它把平行問題濃縮為單一一個角，並把非歐的角虧直接繫於面積——這正是「雙曲三角形面積等於其角虧」這條定理的種子。兩種四邊形都是中立幾何的工具：關於它們、直到三情形分岔為止的每條定理，完全不需假設任何平行公設即成立。