黎曼 zeta 函数（Riemann zeta function）
/ REE-mahn ZAY-tuh /
把平方的倒数加起来：1 加 1/4 加 1/9 加 1/16 加 ...，它收敛，而令人惊讶的是答案是 pi^2 除以 6。把幂 2 换成一般指数 s，你就得到黎曼 zeta 函数——一个把素数、特殊常数与数学中最深的未解难题编织在一起的函数。
对 s 大于 1，它由收敛级数 zeta(s) = 对 n 从 1 求和的 1 除以 n^s 定义。它通往素数的桥梁是欧拉乘积：zeta(s) 也等于 对所有素数 p 求积的 1 除以 (1 减 p^{-s})，这一恒等式编码了算术基本定理，也是 zeta 支配素数分布的原因。级数在 s 不大于 1 时发散（s = 1 处是调和级数），但该函数被解析延拓到整个复平面，仅在 s = 1 处有一个简单极点。那一延拓在其余各处都赋予有限值——包括著名的正则化值 zeta(-1) = 负 1/12，它是一种解析延拓，而非 1 加 2 加 3 加 ... 的字面求和。
zeta 是分析与数论的交汇点。黎曼猜想——即 zeta 所有非平凡零点都落在 s 实部等于 1/2 的直线上的猜想——掌控着素数分布的规则程度，至今未获证明。在纯数学之外，zeta 的值出现在热辐射的斯特藩-玻尔兹曼定律中（通过 zeta(4)）、平板间的卡西米尔力中（那里用 zeta 正则化驯服一个发散和），以及整个量子场论与统计力学中。
巴塞尔和 zeta(2) = 1 加 1/4 加 1/9 加 ... = pi^2 除以 6 约等于 1.6449，而 zeta(4) = pi^4 除以 90 约等于 1.0823；这些偶数自变量的值总是 pi 的幂的有理数倍。
zeta 在偶整数处是 pi 的幂的干净有理倍数；在奇整数处，连 zeta(3) 都没有这样的已知闭式。
zeta(-1) = 负 1/12 是解析延拓，而非 1 加 2 加 3 加 ... 的字面值，后者真正发散；所谓自然数「之和为负 1/12」只在这种正则化意义下成立。