对数积分（logarithmic integral）

一百万以内有多少个素数？惊人的答案是：这个计数能被一个非初等积分非常紧密地追踪。对数积分 li(x) 是一除以自然对数下方的累积面积——一个与素数分布如此紧密相连的函数，以至于它成为素数定理的主角项。

其定义为 li(x) = 从 0 到 x 对 dt 除以 ln t 的（主值）积分。需要主值是因为被积函数在 t = 1 处有极点，那里 ln t = 0；要把积分拆开并对该点取对称极限。由于 1/ln t 没有初等原函数，li 与 erf、Ei 一起被摆上命名积分的书架。一个密切相关、无极点的变体是偏移对数积分 Li(x) = 从 2 到 x 对 dt 除以 ln t 的积分，它从 2 干净地起步，与 li 相差常数 li(2) 约等于 1.045。

对数积分是素数计数函数的最佳简单估计：不超过 x 的素数个数约等于 li(x)，这个近似远比粗糙的 x 除以 ln x 准确。这里藏着一个著名的微妙之处：对每个被检验过的 x，li(x) 都高估了素数计数，然而李特尔伍德证明二者之差会无穷多次变号，第一次反超（Skewes 数）出现在一个几乎无法想象的巨大值处。这干净地提醒我们：数值证据无论多么浩大，都不等于证明。