羅朗級數與奇點分類
黎曼可去奇點定理（Riemann's removable-singularity theorem）
/ REE-mahn /
你遇到一個在去心圓盤上處處解析、唯獨可能在圓心出問題的函數，而你想知道圓心是真正的奇點，還是只是一個可填補的洞。黎曼定理給出一個出奇簡單的判別法：只要檢查函數在該點附近是否保持有界。若是，這奇點從來就不是真的——它可以被去除。
精確地說：設 f 在去心圓盤 0 < |z - z_0| < r 上解析。若 f 在那裡有界（當 z 趨近 z_0 時其絕對值保持低於某個固定數 M），則 z_0 是可去奇點——f 延拓為一個在整個圓盤 |z - z_0| < r 上解析的函數。你甚至不必事先知道極限；單單有界就迫使羅朗級數的主要部分消失。看出原因的快捷途徑：a_{-n} = (1/(2 pi i)) 乘以 f(z)(z - z_0)^(n-1) dz 沿半徑 rho 的小圓的積分；ML 不等式把它限制在 M 乘以 rho^n，當 rho 縮小時對 n 大於或等於 1 它趨於 0，於是每個負係數都被迫為零。
這條定理正是「有界」成為最溫和奇點試金石的原因。它作為工具也出奇地有力：它讓你能忽略只知道函數有界的那些點，事後才知曉那裡一直都是解析的。它與極點（|f| 趨於無窮）和本性奇點（|f| 根本沒有極限）形成鮮明對比，於是三種類型由其行為乾淨地區分：有界、爆向無窮、或狂野。
f(z) = z / (e^z - 1) 在 0 處看似奇異，但在 0 附近分母 e^z - 1 約為 z，故 f 約為 1——保持有界。黎曼定理於是保證 0 可去，而 f 確實以 f(0) = 1 延拓。
僅憑有界、不需其他資訊，便能證明該奇點是可去的。
假設是有界，而非連續或有極限——你不需要知道那個值，也絕不可對無界函數套用此結論，那裡它根本不成立（那些是極點或本性奇點）。
又称
另见