积分区域（region of integration）

每个多重积分都活在某个集合上——二重积分活在平面的一块上，三重积分活在空间的一团实体上。这个集合就是积分区域。在你能写下任何一个上下限之前，你必须知道你在其上求和的形状：一个圆盘、一个三角形、两条抛物线之间的面积、一个被抛物面盖住的柱体。多重积分一半的难度根本不在被积函数——而在于把这个区域描述得足够精确，以钉死上下限。

区域有几种方便的类型。若一个区域夹在两条曲线 y = g(x) 与 y = h(x) 之间、横跨 x 区间 [a, b]，就称它为 I 型（或竖直简单型）；这时任一 x 处的竖直线在 g(x) 进入、在 h(x) 离开，给出 dy dx 的内层限。若它夹在 x = p(y) 与 x = q(y) 之间、横跨一个 y 区间，就是 II 型（水平简单型）；水平线给出 dx dy 的内层限。许多区域两种都是，你就挑让积分更容易的那种。两种简单型都不是的区域，被切成几块、每块都是简单型，积分就是各块之和。关键在于：是区域的几何——而非被积函数——定下每一个积分限。

正确读出区域，是大多数设置错误诞生之处，也是大多数错误能被治好之处。纪律永远一样：画出来，找到边界曲线和它们的交点，决定次序，然后对内层变量画一条扫描线、记下它何处进入、何处离开。区域也决定了你是否该换坐标：圆盘或圆环呼喊极坐标，球体呼喊球坐标，柱体呼喊柱坐标——选取与区域对称性相符的坐标，通常会把丑陋的变量上下限变成纯常数。