累次积分（iterated integral）
二重或三重积分被定义为对区域上小方块的单个极限，但没人真的去算那个极限。累次积分就是取而代之的实用配方：你对一个变量积分、同时把其余变量冻住，得到一个关于剩下变量的函数，再对它积分，如此往复——一个接一个的普通一重积分。这就像切片吃面包一样：先把每一片横着积出来，再把各片加起来。
具体地说，一个累次二重积分长成 从 a 到 b 对 [从 g(x) 到 h(x) 对 f(x, y) dy 的积分] dx 的积分。你先做里面的：把 x 当常数，对 y 从下边界 g(x) 到上边界 h(x) 积分 f。结果是某个函数 A(x)——位置 x 处那一片的面积。然后把 A(x) 对 x 从 a 到 b 积分。从里往外读微分的顺序，就告诉你哪个变量先积；这里 dy 在里面，所以 y 先来。三重积分嵌套三个这样的一重积分。注意内层的限可以是外层变量的函数，但最外层的限必须是纯常数，否则答案里还会留着一个变量。
累次积分正是每个计算机代数系统和每次手算实际所求的；二重积分是含义，累次积分是方法。富比尼定理是那座桥：它保证累次积分等于真正的二重积分，并且两种可能的累次顺序给出同一个数——前提是 f 足够规矩（例如在区域上连续，或绝对可积）。这个前提不是走过场：在无界区域上，或者对一个变号、非绝对可积的 f，两种顺序可能不一致。
从 0 到 1 对 [从 0 到 x 对 (2y) dy 的积分] dx 的积分。内层：从 0 到 x 对 2y dy 的积分 = x^2。外层：从 0 到 1 对 x^2 dx 的积分 = 1/3。内层上限 x 使这成为在三角形 0 <= y <= x <= 1 上的积分。
可变的内层限把一个非矩形区域——这里是三角形——编码进累次积分里。
累次积分与二重积分在概念上是不同的对象，是富比尼定理使它们在数值上相等。没有它的前提，二者可能不同，所以别把它们相等当作理所当然。