积分次序（order of integration）

当你把二重积分写成累次积分时，你必须决定先对哪个变量积分——是先横扫再竖扫，还是反过来？这个选择就是积分次序。对矩形来说它对难度没影响，但在弯曲或倾斜的区域上，一种次序可能是一个干净的单积分，而另一种却逼你把区域切成几块、或与一个没有初等原函数的被积式搏斗。懂得如何从一种次序切换到另一种，是多元微积分里最有用的手上功夫之一。

交换次序绝不只是把 dx dy 换成 dy dx——光这样会给出错误答案。你必须从区域的几何重新推导上下限。标准做法是：画出区域 R；对次序 dy dx，固定一个典型的 x，读出 y 如何变化（在一条下曲线和一条上曲线之间），再让 x 在它的极端常数值之间跑；对 dx dy，固定一个典型的 y，读出 x 如何变化，再让 y 在它的常数之间跑。同一个区域用两种方式描述，给出两个累次积分，富比尼定理担保它们相等。在一种次序下需要切成两块的区域，在另一种次序下可能只需一块。

这远不止是整洁的问题。经典的回报是像 从 0 到 1 对 [从 x 到 1 对 e^{-y^2} dy 的积分] dx 的积分 这样的式子，照写下来毫无希望，因为 e^{-y^2} 没有初等原函数——但把次序换成 dx dy，内层对 x 的积分变得平凡，整个东西塌缩成初等的结果。交换次序也是驯服三角形上、相交曲线之间的区域上、以及许多反常积分的办法。最常见的单一错误，是改了微分却照抄旧的数字上下限；上下限每次都必须从图里重建。