富比尼定理（Fubini's theorem）
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富比尼定理是那张许可条，它把一个二重或三重积分——抽象地定义为对小方块的极限——变成你真能算的东西：一摞前后相继做的普通一重积分。它说，区域上真正的积分等于累次积分，而且你可以按任一顺序对各变量积分、得到同一个数。没有它，累次积分就只是一个充满希望、却不保证与你想要之物相符的配方。
对二重积分的表述：若 f(x, y) 在区域 R 上足够规矩，则 f dA 在 R 上的二重积分等于 对 x 的 [对 y 的 f dy 的积分] 的积分，也等于 对 y 的 [对 x 的 f dx 的积分] 的积分。关键的小字是「规矩」的含义。安全的充分条件（有时称作托内利那一半）是 f 连续，或更一般地，f 的绝对值的积分有限——即 f 在 R 上绝对可积。在这个条件下顺序无关紧要。最干净的应用是在矩形上，那里内外层的限全是常数，两种顺序显然对称。
诚实的警告是：绝对可积这个前提是真的、不是装饰。有经典的反例——单位正方形上的函数，或依赖顺序的和——交换积分顺序会改变答案，因为正部和负部各自积出无穷，而抵消依赖于顺序。所以当你为了让一个顽固积分变得可算而交换积分顺序时（这是个标准而有力的招数），你其实是在暗中援引富比尼，你应当确认它的前提成立，尤其是在无界区域上或被积函数变号时。
在矩形 [0,1] x [0,2] 上，x y dA 的积分 = 从 0 到 1 对 x [从 0 到 2 对 y dy 的积分] dx 的积分 = 从 0 到 1 对 x (2) dx 的积分 = 1，与先 y 后 x 的结果相同。两种顺序一致，因为 x y 连续且有界。
在有界矩形上、被积函数连续时，富比尼保证两种顺序给出相同的值。
富比尼不是无条件的。若 f 不绝对可积（其正部与负部都发散），两种累次顺序可能给出不同答案。安全准则：在有界区域上连续，或 |f| 的积分有限。