反常多重积分（improper multiple integral）

普通的多重积分假定区域有界、被积函数也有界。反常多重积分，是当其中之一失效时你所做的：区域伸向无穷（在整个平面或整个空间上积分），或者被积函数在区域内某处爆掉（一个在某点变为无穷的密度，比如源处的 1/距离 势）。和反常一重积分一样，你通过取极限来驯服这个困难——在一个不断增长或收缩的安全区域上积分，盯着那个值往哪儿走。

标准方法是穷举法。要在一个无界区域上积分，先在一块有界的部分上积分——一个半径为 R 的圆盘、一个盒子、或一个止步于奇异点之前的区域——然后让那块膨胀到填满整个区域（R 趋于无穷），或收拢到那个坏点。若极限存在且有限，反常积分就收敛到它。一个对多重积分特有、且令人安心的事实是：当被积函数符号单一（或绝对可积）时，极限不依赖于穷举区域的形状——圆盘、正方形、以及任何其他合理的膨胀族都给出同一个答案。这正是用极坐标求多维高斯积分之所以合法的原因：你可以在膨胀的圆盘上算它、并信任结果。

反常多重积分在物理和概率里到处都是，那里的场、势、概率密度天然定义在整个空间上、且常在某个源处有奇点。诚实的警告是那个令人安心事实的反面：对一个变号、且非绝对可积的被积函数，答案可能依赖于你如何穷举区域——正方形和圆盘可能给出不同的极限，正如一个条件收敛的级数可以被重排成任意和。所以反常多重积分的收敛，真正意味着绝对收敛（绝对值的积分有限）；当这一点失效时，没有哪个单一的值配被称作那个积分。