降阶法（reduction of order）

有时你已经知道二阶线性方程的一个解，却需要那个独立的第二解来补全图景。降阶法正是从第一个解里挤出第二个解的技术，它把一个二阶问题化为一个一阶问题——后者通常容易得多。

已知 y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 的一个解 y_1，便寻求形如 y_2 = v(x) y_1 的第二解。代入并利用 y_1 本已满足方程，所有不含 v 之导数的项相消，留下一个关于 v' 的一阶方程——阶数降了一阶。解它给出标准公式 y_2 = y_1 乘以 对 [ e^(-对 p 的积分) / y_1^2 ] 的积分。两个解自动无关，故 { y_1, y_2 } 是一组基本解。

降阶法是若干熟悉结果背后的主力：它解释了为何重特征根会产生多出的因子 x（取 y_1 = e^(r x)，那个积分给出 x e^(r x)），也是在由级数得到第一个解后求特殊函数方程第二解的标准途径。它还适用于某些缺少因变量或自变量的非线性方程，那里代换 p = y' 可直接降阶。