一階方程：恰當方程與代換
還原位勢函數（recovering the potential）
一旦恰當性判別通過，你就知道存在一個隱藏位勢 F——現在你得真的把它建造出來。還原程序是一個工整的兩步積分，把係數 M 與 N 變回那個單一函數 F，其等位曲線就是解。
第一步：把 M 對 x 積分，並把 y 當成常數。這給出 F，但差一個未知的 y 的函數，因為任何只依賴 y 的項在對 x 微分時都會消失——所以寫成 F = (M 對 x 的積分) + g(y)，其中 g(y) 待定。第二步：把這個候選 F 對 y 微分，並令它等於 N。由恰當性，含 x 的部分會相消，留下一個關於 g'(y) 的方程；把它積分得到 g(y)。把各塊拼起來，F(x, y) = C 就是你的隱式解。（你同樣可以先把 N 對 y 積分，還原出一個 x 的未知函數——答案相同。）
這是整套恰當方程機器的回報：一個確定性的步驟，毫無猜測。唯一常見的失誤，是忘了第一步的「積分常數」其實是另一個變數的函數 g(y)，而非單純的常數——那個函數正是 F 中只依賴 y 的行為所在。
對 (2xy) dx + (x^2 + 1) dy = 0：把 M = 2xy 對 x 積分得 F = x^2 y + g(y)。對 y 微分：partial F / partial y = x^2 + g'(y)；令它等於 N = x^2 + 1，於是 g'(y) = 1，得 g(y) = y。故 F = x^2 y + y，解為 x^2 y + y = C。
把 M 對 x 積分，再藉由匹配 N 來定下剩餘的 y 的函數。
把候選 F 對 y 微分後，扣掉 N 之後結果必定不再含 x——若還有 x 殘留，要麼方程並不恰當，要麼你算錯了。x 的消失正是恰當性所保證的。
又称
另见