一階方程：恰當方程與代換
全微分（total differential）
若一個量 F 依賴於兩個輸入 x 與 y，當你把兩者各推動微小量 dx 與 dy，F 改變多少？到一階近似，答案就是全微分：把因 x 方向移動造成的變化，與因 y 方向移動造成的變化相加。它是熟悉的單變數式 dF = F'(x) dx 的雙變數版本。
寫出來，F(x, y) 的全微分是 dF = (partial F / partial x) dx + (partial F / partial y) dy。dx 的係數是固定 y、沿 x 方向滑動時 F 的變化率（偏導數）；dy 的係數則是沿 y 方向滑動時的變化率。因此一個組合 M dx + N dy 恰好是某個 F 的全微分，當且僅當你能找到一個 F，其兩個偏導數分別是 M 與 N。
這正是恰當方程背後的引擎。方程 M dx + N dy = 0 在問：左側是不是某個全微分 dF？若是，方程就讀作 dF = 0，意即 F 保持常數，而 F(x, y) = C 即為解。若否，左側便不是任何單一函數的微分，你無法如此乾淨地積分——這正是積分因子試圖修補的情形。
若 F(x, y) = x^2 y，則 dF = 2xy dx + x^2 dy。所以組合 2xy dx + x^2 dy 是一個全微分，而 2xy dx + x^2 dy = 0 是一個恰當方程，解為 x^2 y = C。
dF 把兩個偏導數打包成一個微分——這正是恰當性的核心。
並非每個 M dx + N dy 都是全微分。組合 y dx（其中 N = 0）就不是，因為沒有任何 F 能同時滿足 partial F / partial x = y 與 partial F / partial y = 0。
又称
另见