对偶空间

对偶空间是左矢所栖居的相伴空间，与右矢的空间并肩而立。右矢是一个量子态，而它的左矢则是某种测量装置：一条规则，接受任何右矢并返回一个复数。所有这类规则的集合，自成一个向量空间，即对偶空间，它正是每一个左矢 ⟨φ| 的天然居所。

两个空间之间有一种完美的一一对应。每个右矢 |ψ⟩ 都恰好对应一个左矢 ⟨ψ|，由厄米共轭——转置并取复共轭——得到。这种对应并不全然是简单的复制：把一个右矢乘以复数 c，与它对应的左矢乘的却是共轭 c*。正是这一处微妙的扭转，使得内积表现得正确，使得长度算出来是实的、正的。

为什么非要把态分成两个空间不可呢？因为这样能干净地分开一个态必须承担的两份职责。作为右矢，它是可以被变换、被演化的东西；作为左矢，它是从别的态中读出信息的东西。把对偶空间里的一个左矢与一个右矢凑到一起，便得到内积——一个数——而两个空间的这次相遇，正是可测量的量诞生之处。