希尔伯特空间

希尔伯特空间是量子态所栖身的抽象舞台。在数学上它是一个向量空间——你可以把态相加，也可以用数去缩放它们——并配有一个内积，让你能够追问一个态与另一个态有多少重叠，再加上一个完备性条件，使得即便空间拥有无穷多个维度，数学仍然性质良好。量子系统每一个可能的态，都是这个空间里的一个向量。

不妨从三维空间里寻常的箭头出发：你可以把两支箭头相加、把它们拉长，还能用点积量出它们之间的夹角。希尔伯特空间就是把同一个想法推得更远：这里的「向量」是量子态，你用来缩放的数是复数而不只是实数，而独立的方向可以有无穷多个。比如单个粒子的位置态，就需要为它可能出现的每一个点各设一个方向。

为什么要费力采用这样一幅抽象图景？因为它让同一套简洁规则既能描述只有两个态的自旋，也能描述可以处在直线上任何位置的粒子。一旦你接受态是向量、而测量对应于作用在它们身上的算符，量子力学的全部机器——叠加、概率、随时间的演化——就都化为这个空间里的几何，这远比分别摆弄波函数和矩阵来得清爽。