左矢

左矢，写作 ⟨ψ|，是右矢的搭档。右矢 |ψ⟩ 代表一个量子态，而左矢则是一台机器：它吞下一个右矢，吐出一个单一的复数——内积。把右矢 |ψ⟩ 递给左矢 ⟨φ|，它便返回 ⟨φ|ψ⟩，即两个态之间的重叠。你可以把左矢想象成一行数字，正等着去乘一列数字。

每个右矢都恰好配有一个左矢，由一道称为厄米共轭的手续得到：你把列转置成行，再把每个数换成它的复共轭。正是这道额外的共轭，使得一个态与自身的内积 ⟨ψ|ψ⟩ 得出一个实的、非负的数——也就是这个态的长度的平方，这对于得到合理的概率至关重要。

左矢栖身于自己相伴的空间，即对偶空间，与右矢的空间完美对应。同时拥有两者的全部意义就在于那个括号：一个左矢遇上一个右矢，产生一个数，而物理正是从这个数进入的。重叠、概率、期望值，以及算符的作用，都是由左矢与右矢咬合在一起组装而成的。