角动量算符

在量子力学中，每一个可测量都由一个算符来表示——它是作用于波函数的一道数学指令——角动量也不例外。算符 Lx、Ly、Lz 分别代表轨道角动量沿 x、y、z 方向的三个分量，第四个算符 L² 则代表总大小的平方。它们由位置与动量按 L = r × p 构造而成，编码转动的方式，正如动量算符编码直线运动。

你对一个态能知道什么，由这些算符所裁定。允许测得的数值就是它们的本征值：测 Lz，你得到某个 m·ℏ 值；测 L²，你得到 ℓ(ℓ+1)·ℏ²。球谐函数恰恰就是 Lz 与 L² 作用其上时干净利落、返回一个确定数值的那些波函数——这正是为何是这两个算符、而非其余算符来标记角动量态。

这些算符最深刻的特征在于：它们并不全都和睦相处。Lx、Ly、Lz 彼此不对易，意味着你施加它们的先后次序会影响结果。在物理上这是说，你无法同时把角动量的三个分量都钉死：选择把 Lz 知道得清晰，就逼得 Lx 与 Ly 保持未定。这是不确定性原理披上的转动外衣，它从算符的代数里严格地推导而出。