点群（point group）

把一个单独的物体——比如一颗六面骰子——固定在它的中心，然后问：我能用多少种方式转动或镜射它，使它看上去完全不变？你可以绕几条轴旋转它，也可以沿几面镜子翻折它，而所有这些动作有一个共同点：它们都让正中心纹丝不动。这一整套动作，就是数学家所说的点群。

点群，是这样一组对称操作——旋转、反射和反演——它们让晶体看上去毫无变化，同时至少有一个点保持原位不动。关键就在这个不动点：点群操作不会把晶体整体平移，只让它绕着那个锚点旋转和镜射。对普通的周期性晶体，「不能有五重」这条限制意味着，恰好有32种不同的晶体学点群，不多不少，而每块晶体的整体外形与随方向变化的性质，都归属于其中之一。

点群之所以重要，是因为它支配着材料随方向、随外形变化的行为：它能否具有压电性、它的光学或弹性响应如何随方向变化、它外露的晶面又能长成什么样。要牢牢抓住的关键区别是：点群不管平移，只关心绕一个点的取向对称性；而更完整的空间群，则再加上重复晶格的平移滑动对称。点群是取向那一部分；空间群才是完整的全貌。