龐加萊回歸定理（Poincare recurrence theorem）
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龐加萊回歸是保測動力的第一個也是最驚人的事實：在任何有限測度系統中，你所選任何區域的幾乎每個點，僅憑時間流逝就會回到該區域——事實上是無窮多次回歸。早在平均收斂之前，動力就已拒絕忘記它曾到過何處。
精確地說，設 (Omega, F, P, T) 保測（P 為機率，或任何有限測度），A 屬於 F 且 P(A) > 0。則對 P-幾乎每個 x 屬於 A，存在無窮多 n >= 1 使 T^n x 屬於 A。證明是測度上的一行鴿籠論證：設 B 為 A 中永不回歸的點。集合 B, T^(-1) B, T^(-2) B, ... 兩兩不交（若 T^(-i) B 與 T^(-j) B 相交，便會有點回歸），皆有測度 P(B)，且居於總測度為 1 的空間中；無窮多個等正測度的不交集不可能存在，故 P(B) = 0。迭代此論證可把「回歸一次」升級為「無窮多次回歸」。
此定理是著名回歸悖論的源頭：將孤立氣體建模為有限能量殼上的保測哈密頓流，則它終將任意接近其初始位形——似乎與熱力學第二定律矛盾。化解之道既誠實又重要。其一，測度有限是關鍵：直線上的平移（勒貝格測度，無限）完全無回歸。其二，回歸對你需等待多久隻字不提；卡茨引理給出回到 A 的期望時間為 1/P(A)，對宏觀氣體而言遠大於宇宙年齡。回歸是關於最終回歸的陳述，而非關於實際可逆性。
盒中兩種混合氣體：把分子建模為保測流。龐加萊保證位形終將任意接近「氣體 A 全在左側」。卡茨引理說期望等待時間為 1/P(該區域)，而如此微小區域的 P 約為 10^(-10^23)——原理上回歸，實際上永不。
回歸是確定的；等待時間（卡茨：1/P(A)）才是拯救熱力學第二定律之所在。
測度有限不可省略。在無限測度空間上（例如暫態隨機漫步，或 R 上的平移），幾乎每個點可能永遠離開 A；回歸是有限總質量的現象。