生成函數
生成函數是產生一個正則變換的簡潔配方。與其直接寫出新的座標與動量、再去驗證使映射成為正則的（一大堆）條件，你只需寫下一個精心挑選的函數；對它微分，整個變換便自動奉上，而且保證是正則的、不花額外力氣。它正是使正則變換那份龐大自由變得實際可用的記帳工具。
這個技巧建立在一個事實上：正則變換保持作用量、至多相差端點項——p dq - H dt 與 P dQ - K dt 相差某函數 F 的全微分。讓 F 依賴一個舊變數與一個新變數，就得到四種標準型。最常用的第二型生成函數 F_2(q, P, t) 給出 p_i = partial F_2 / partial q_i、Q_i = partial F_2 / partial P_i，以及 K = H + partial F_2 / partial t。（第一型 F_1(q, Q) 給出 p = partial F_1 / partial q、P = - partial F_1 / partial Q；第三、四型用 F_3(p, Q) 與 F_4(p, P)，彼此以勒讓德變換相聯。）任何 F 都生成一個合法的正則變換，於是構造變換便簡化為「選一個函數」。
生成函數是本學科最深刻結果背後的實用引擎。恆等變換是 F_2 = sum q_i P_i；在它之上加一小片 epsilon G，就生成一個無窮小正則變換，其「生成元」G 恰是一個充當對稱的守恆量——這是通往諾特定理的哈密頓橋樑。而求出那個使新哈密頓量消失的生成函數，正是哈密頓-雅可比方程，其中哈密頓主函數 S 扮演 F_2 的角色。
第二型函數 F_2 = q P 生成恆等變換（p = partial F_2 / partial q = P、Q = partial F_2 / partial P = q）。函數 F_1 = (1/2) m omega q^2 cot(Q) 則生成解出簡諧振子的變換，把 (q, p) 變成類作用-角變數，其中哈密頓量單純正比於新動量。
不同的生成函數構造出不同的正則變換，從平凡的恆等變換到解出振子的那一個。
四種型別彼此互為勒讓德變換，而且並非每個變換都能用每一型表示——某個給定的正則映射對某種選擇可能是奇異的（例如 F_1 無法表示恆等變換），對另一種卻完全正則。請挑選那個使其「混合」變數（一舊一新）彼此獨立的型別。