正則變換
正則變換是一種相空間座標的變換，它讓哈密頓力學的整套機制原封不動。在拉格朗日的世界裡，你可以隨意重新標記位置（對 q 做任何點變換都行）。哈密頓力學則慷慨得多：由於位置與動量地位對等，你被允許把它們混合——用舊的位置與動量調配出新的座標——只要新的一對仍是正則的。這份自由正是這套形式論的超能力。
一個變換 (q, p) -> (Q, P) 為正則，若它保持哈密頓方程的形式，亦即存在新哈密頓量 K(Q, P, t) 使得 Q_dot = partial K / partial P、P_dot = - partial K / partial Q。等價且更好用的說法是：它保持基本帕松括號（{Q_i, P_j} = delta_ij、{Q_i, Q_j} = {P_i, P_j} = 0），或等價地保持辛形式 sum dP ^ dQ = sum dp ^ dq。這些條件其實是同一句話：變換的雅可比矩陣是辛矩陣。這類變換由生成函數產生，並自動保持相空間體積（劉維爾）。
這一切自由的目的，是靠選更好的座標來簡化問題。夢想是變換到一組使新哈密頓量盡可能簡單的座標——最好是零，或只依賴新動量的函數。當 K 只依賴新動量時，每個新座標都是循環座標、每個新動量都守恆，於是運動變得平凡。達成這一點，正是哈密頓-雅可比理論（目標 K = 0）與作用-角變數（目標 K = H(P)）的綱領。
變換 Q = arctan(m omega q / p)、P = (p^2 + m^2 omega^2 q^2)/(2 m omega) 是正則的，它把簡諧振子哈密頓量變成 K = omega P。此時 Q 是循環座標，故 P（正比於能量）守恆，而 Q_dot = omega 給出 Q = omega t + 常數——選對正則座標，一行就解出了振子。
一個正則變換使簡諧振子變得平凡：新動量守恆，新座標以定速率 omega 前進。
並非每個可逆的 (q, p) 變換都是正則的——大多數都不是。你必須檢查辛條件（等價地，基本帕松括號是否被保持）。例如只縮放 q 而不相應縮放 p，就會破壞 {q, p} = 1，並非正則變換。