哈密頓-雅可比方程
/ HAM-il-tun yah-KOH-bee /
哈密頓-雅可比方程是「找一組讓問題自己解開的座標」這個想法的終極體現。它尋求那個威力強大到能使正則變換後的新哈密頓量為零的生成函數——這意味著所有新座標與新動量都是常數，運動被化約成「靜止不動」。解力學於是變成解一條關於該函數的（非線性、一階）偏微分方程。
尋求一個使 K = 0 的第二型生成函數 S(q, alpha, t)——稱為哈密頓主函數——透過 K = H + partial S / partial t 與 p = partial S / partial q，即得哈密頓-雅可比方程：H(q_1, ..., q_n, partial S / partial q_1, ..., partial S / partial q_n, t) + partial S / partial t = 0。這是一條關於 S、以 n 個座標與時間為變數的一階偏微分方程。一個完全解依賴 n 個常數 alpha_i（新的、守恆的動量）；此時新座標 beta_i = partial S / partial alpha_i 也是常數，反解即直接給出 q(t)。當 H 不顯含時間時，可分離 S = W(q, alpha) - E t，其中 W（哈密頓特徵函數）滿足 H(q, partial W / partial q) = E。
哈密頓-雅可比方程是通往解的最深古典途徑，也是最接近量子力學的古典結構。S 正是作為端點函數的古典作用量，而 S 為常數的曲面像波前般傳播，軌跡則是垂直於它的射線——這正是引導德布羅意與薛丁格的光學-力學類比。事實上，含時薛丁格方程在 hbar -> 0 的極限（取 psi ~ exp(i S / hbar)）下退化為哈密頓-雅可比方程，這是 WKB 近似的基礎。
對一維自由粒子 H = p^2/(2m)，方程為 (1/2m)(partial W / partial x)^2 = E，故 partial W / partial x = sqrt(2 m E)，W = sqrt(2 m E) x。於是 S = sqrt(2 m E) x - E t，而 beta = partial S / partial E = sqrt(m/(2E)) x - t = 常數，重現出 x = sqrt(2E/m)(t + 常數)：勻速運動，由解一條偏微分方程萃取而得。
對自由粒子，哈密頓-雅可比方程重現勻速運動；特徵函數 W = sqrt(2mE) x 是作用量的空間部分。
哈密頓-雅可比方程主要在「可分離」時才強大——即 S 能拆成單變數各項之和時。可分離性是一種與對稱性和可積性相繫的特殊性質；一般的（非可積）哈密頓量不存在完全可分離解，這正是大多數系統無法用此法求解的原因。