勒讓德變換
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假設你已知某個變數的光滑凸函數，例如把拉格朗日量看成速度 q_dot 的函數。勒讓德變換是一種「換描述方式」的操作：它把這個變數換成它的斜率——不再記錄「你在哪裡」，而是記錄「曲線在那裡有多陡」。正是這個數學操作，讓我們能把速度換成動量，或把依賴體積的能量換成依賴壓力的能量，而且完全不遺失任何資訊。
精確地說，給定一個對 q_dot 為凸的函數 L(q_dot)，定義新變數 p = partial L / partial q_dot（斜率），並定義變換後的函數 H(p) = p q_dot - L，其中 q_dot 透過反解斜率關係重新表示成 p 的函數。這個 H 就是 L 的勒讓德變換。這個構造是對稱的：把 H 再變換一次會回到 L，而且 q_dot = partial H / partial p。凸性保證斜率關係可逆，使變換單值。在力學中，對速度做勒讓德變換，把拉格朗日量 L(q, q_dot, t) 轉成哈密頓量 H(q, p, t) = sum_i p_i q_dot_i - L。
只要你想改變「哪個量是自變數（控制變數）」，同一個操作就會出現。在熱力學中，它把內能 U(S, V) 轉成焓 H(S, P)、亥姆霍茲自由能 F(T, V)、吉布斯自由能 G(T, P)——每一次勒讓德變換都把一個自然變數換成它的共軛量（S 換成 T、V 換成 P）。認出哈密頓量與這些熱力學勢其實是同一類物件，是研究所物理的一個統合性洞見。
對自由粒子 L = (1/2) m q_dot^2，動量為 p = partial L / partial q_dot = m q_dot，故 q_dot = p/m，勒讓德變換給出 H = p q_dot - L = p(p/m) - (1/2) m (p/m)^2 = p^2/(2m)——這正是用動量而非速度寫出的動能。
自由粒子拉格朗日量的勒讓德變換就是它的哈密頓量，也就是熟悉的 p^2/(2m)。
只有當 L 對速度為凸時，變換才行為良好；若 L 非凸（或為線性，如相對論性無質量粒子），則斜率到變數的映射不可逆，樸素的勒讓德變換失效，這正是受約束哈密頓系統的起源。