永续年金

一股永不停止的付款流值多少——一笔每年固定支付你一笔钱、永远不停的款项？听上去它似乎应该值无穷多，其实不然。因为每一笔付款都被推得更远、被贴现得更重，这些贡献缩小得足够快，以致它们的总和会落在一个有限的、出人意料地简单的数值上。这样一笔永不终止的等额年金，就是永续年金。

在利率 i 下，永远在每期期末支付 1 的期末永续年金的现值，就是 1 除以 i。在每期期初支付的期初永续年金，则值 1 除以 d。逻辑很干净：n 笔付款年金的现值是（1 减 v 的 n 次方）除以 i，当 n 无限增大时 v 的 n 次方趋于 0，剩下 1 除以 i。所以一笔每年 1 的永续年金在 5% 下值 20；在 4% 下值 25。

永续年金不只是教科书里的奇谈。英国政府曾真的发行过名为 consols 的永久债券，而永续年金公式也是用来给股息稳定的股票估值的戈登增长模型背后的引擎。对精算师而言，它是一种合理性检验工具，也是一块构件：任何长年金都可以近似为两笔永续年金之差。它还带来一个难忘的启示——永久收入的价值与利率成反比，所以利率下降时，永久义务的价值会急剧膨胀。