期末年金

生活中许多付款都按稳定的节拍到来：每月的房租、每年的退休金支票、汽车贷款的等额分期。当等额付款在每一期的期末到来时，这种安排就是期末年金。尽管字面上「期末」之外英文叫 immediate（立即），第一笔付款却并非马上支付——它落在起点之后整整一期，这正是它区别于期初年金的决定性特征。

在利率 i 下，期末各支付 1、共 n 期的期末年金的现值记作 a‑angle‑n，等于（1 减 v 的 n 次方）除以 i，其中 v 为 1 除以（1 + i）。其期末积累值记作 s‑angle‑n，等于（（1 + i）的 n 次方 减 1）除以 i。直观地说，a‑angle‑n 不过是 n 笔单独付款现值之和，即 v 加 v 的平方一直加到 v 的 n 次方；那个简洁的闭式公式只是把这条等比数列收拢起来罢了。

期末年金是贷款与债券数学的骨架，因为多数贷款都是后付的——你今天借款，一个月后才付第一笔。等额房贷月供、债券的票息流、向基金的定期供款，都用这些公式计值。掌握期末（immediate）与期初（due）这一虽小却关键的时点差异，能避免一整类相差一期的错误。