期初年金

有些付款是预先支付而非在期末支付的。房租是经典例子：你在住进去之前、在月初的第一天就付下个月的钱，而不是月末。当等额付款在每一期的期初到来时，这种安排就是期初年金。它与期末年金是同一串现金流，只是整体提前了一期——而由于钱会生息，这一小小的提前使它略微更值钱。

期初各支付 1、共 n 期的期初年金的现值记作 a‑double‑dot‑angle‑n，等于（1 减 v 的 n 次方）除以 d，其中 d 是贴现率。因为每笔付款都早一期，期初年金通过一个积累因子与期末年金相联：a‑double‑dot‑angle‑n 等于（1 + i）乘以 a‑angle‑n，同样地积累值 s‑double‑dot‑angle‑n 等于（1 + i）乘以 s‑angle‑n。保险费和正在领取的养老金通常按期初年金建模，因为给付和保费往往在每年年初支付。

这一区别在寿险精算中至关重要，那里标准的生命年金就是期初年金（退休者在他活着的每一年年初领钱）。把时点弄错一期，会系统性地给合同定错价。一个可靠的检验：期初年金总比其余完全相同的期末年金多出一个（1 + i）的因子，绝不会更少，因为每一元都早到一期。