完全数

有些数与自身的各部分恰成完美的平衡。把 6 的所有比它小的因数加起来 — 即 1、2、3 — 正好又得回 6。具备这种罕见自平衡的数，就称为完全数。

严格地说，一个正整数若等于它的所有真因数之和（即除它本身以外的全部正因数），就是完全数。最前面的几个是 6、28、496、8128。欧几里得发现：每当 2^p − 1 是素数（这种素数称为梅森素数）时，2^(p−1) 乘以 (2^p − 1) 就是完全数；欧拉后来证明，每个偶完全数都恰好是这种形状。

其中许多问题至今真正未解，这也是它迷人之处。从未有人找到过一个奇完全数，却也无人证明它不存在 — 这是数学中最古老的未解难题之一。完全数究竟是否有无穷多个，也尚不可知，因为这取决于梅森素数是否有无穷多个。