梅林轉換（Mellin transform）
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傅立葉轉換是當一個問題在平移下不變（平移不變性）時的自然工具；它依函數在滑動下的行為來分類它們。但半直線上有些問題卻是在伸縮下不變——在原點周圍重新縮放半徑、放大或縮小。對這些問題，梅林轉換才是對的儀器：它之於縮放，正如傅立葉轉換之於平移。它在帶有尖角、楔形與一點附近的冪律行為的問題上大放異彩。
對定義在 x > 0 上的函數 f(x)，其梅林轉換為 F(s) = integral from 0 to infinity of f(x) x^(s-1) dx，其中 s 是複數。x^(s-1) 因子是關鍵：在變數變換 x -> a x（一次重新縮放）之下，它只產生一個 a 的乘冪，這就是為什麼這個轉換把伸縮變成乘法。它其實是拉普拉斯與傅立葉轉換的近親——代換 x = e^(-t) 會把梅林轉換變成雙邊拉普拉斯轉換——而它的反轉同樣是複 s 平面上的鉛直圍道積分，屬於相同的 Bromwich 類型。它對偏微分方程決定性的性質，是把徑向縮放算子 x d/dx（以及由它構成的、尖角附近的徑向拉普拉斯算子）送成單純乘上 s。
它真正立足之處是尖角與楔形問題：扇形區域中的拉普拉斯方程、裂縫尖端附近的應力、楔形中的擴散——這些幾何中，解的行為像到尖角的距離 r 的某個冪，r^lambda。梅林轉換把角向的偏微分方程化為一個關於允許指數 lambda 的代數問題（這些 lambda 以 F(s) 的極點形式出現），而那些指數正是尖角處奇異性的強度。它也是漸近分析與數論中的主力（它撐起了黎曼 zeta 函數的解析延拓），但在偏微分方程的工具箱裡，它是專門處理尺度不變、尖角型問題的工具，通常是順帶遇見、而非每天使用的常備工具。
在張角為 alpha 的楔形中、兩側維持固定值地解拉普拉斯方程。對徑向變數做梅林轉換，把問題化為求形如 r^lambda f(theta) 之解中的指數 lambda；允許的 lambda 以極點形式浮現，而其中最小的那個，掌控著解（及其梯度）在尖角處增長或消失的快慢。
梅林之於縮放，正如傅立葉之於平移——尖角與冪律行為的工具。
與拉普拉斯轉換一樣，梅林積分只在複 s 平面的一條鉛直帶狀區域內收斂（由函數在 0 處與無窮遠處的增長決定）；反轉圍道必須落在那條帶內，而若 f 兩端不相容，那條帶可能是空的。