最陡下降法（method of steepest descent）

當你透過 Bromwich 積分反轉一個拉普拉斯轉換，或計算一個指數會增長與衰減、而非僅僅振盪的逆傅立葉積分時，你面對的是一個形如 integral of A(z) e^(t phi(z)) dz、沿複平面中某圍道、且 t 很大的積分。最陡下降法就是估計這類積分的技巧。它的口號是：把圍道變形，使幾乎所有的作用都發生在單一一點上，再從那一點的行為讀出答案。

這個策略利用了複分析的自由度。依柯西定理，你可以把圍道彎成任何等價的路徑（只要不跨越奇點）。聰明的選擇是讓它經過指數的鞍點——phi'(z) = 0 之處——更精確地說，沿最陡下降路徑，即 phi 的實部在兩側各自下降最快的方向。在那條路徑上，e^(t phi(z)) 在鞍點處最大、並向兩側急遽下降，所以對大 t 而言，整個積分集中在鞍點的一個極小鄰域內。在那裡把 phi 展開到二階，便把積分變成一個你能精確算出的高斯積分，得出形如（常數）乘 e^(t phi(saddle)) / sqrt(t) 的領頭漸近項。它是實積分的拉普拉斯方法在複平面中的手足，也是駐相法的近親（駐相法是相關指數為純虛數時的特例）。

在偏微分方程的工具箱裡，這就是你萃取一個經拉普拉斯或傅立葉反轉之解的大時間行為的方法——擴散或電報員訊號的長時衰減、作為基本解出現的貝索與艾里（Airy）等特殊函數的漸近、以及瞬態消亡的速率。鞍點的位置往往有直接的意義，挑出主導的頻率或衰減率。誠實的限制是：找到正確的圍道變形與主導鞍點（可能有好幾個，且哪一個算數會隨參數變化而切換——一種斯托克斯（Stokes）現象）是真正的工夫，而這個方法給的是對大 t 有效的漸近近似、而非精確的閉式。