Bromwich 反轉積分（Bromwich inversion integral）
/ BROM-witch /
一旦你用拉普拉斯轉換解出一個問題，你的答案 F(s) 活在 s 的世界裡，你必須回到時間世界才能讀懂它。Bromwich 積分就是那張回程車票——把 f(t) 從 F(s) 還原回來的公式。不同於沿實軸積分的傅立葉逆轉換，這個積分沿著複平面上的一條鉛直線進行，正是這一點，使它能處理拉普拉斯轉換所編碼的增長與衰減。
公式為 f(t) = (1/(2*pi*i)) integral along the Bromwich contour of F(s) e^(s t) ds，其中圍道是向上走過的鉛直線 Re(s) = c，而 c 選在 F(s) 所有奇點的右側。實務上你幾乎從不照字面計算它；而是把圍道往左閉合成一個大迴路，並用留數定理。F(s) 的極點成了 f(t) 的構件：在 s = a 處的單極點貢獻一個像（留數）乘 e^(a t) 的項，而分支切割（如擴散問題中出現 sqrt(s) 時）會讓圍道繞著切割纏繞，產生一個給出誤差函數或代數衰減尾巴的積分。
這正是一個用拉普拉斯解出的偏微分方程，其物理終於現身之處。F(s) 的極點告訴你系統的固有頻率與衰減率——在 s = -gamma 處的極點意味著一個像 e^(-gamma t) 衰減的模態。對電報員方程與擴散方程，反轉圍道纏繞一條分支切割，正是產生隨時間擴散、抹開、誤差函數行為的根源。誠實的限制是：正確地做圍道積分——找出每個極點與分支切割，並選擇如何閉合圍道使新增的弧消失（Jordan 引理）——是貨真價實的複分析工作，通常是整個拉普拉斯方法中最困難的一步。
若 F(s) = 1/(s+a)，唯一的奇點是 s = -a 處的單極點；往左閉合圍道並取留數，得 f(t) = e^(-a t)。對於 F(s) = (1/s) e^(-sqrt(s/k) x) 的擴散問題，沒有極點，而是沿負實軸的一條分支切割，把圍道繞著它纏繞，便重現出誤差函數解。
把鉛直圍道往左閉合；極點給出指數項，分支切割給出擴散尾巴。
圍道必須位於 F(s) 所有奇點的右側；放得太靠左，你會漏掉極點而得到錯誤答案。同一條圍道有時被稱為 Mellin-Bromwich 線，反映它與梅林轉換的親緣關係。