分布的卷積（convolution of distributions）

卷積是一種抹開的運算：它取兩個對象、產生混合而成的第三個，做法是讓其中一個滑過另一個並把重疊處加總。對函數而言，f 與 g 在點 x 的卷積，是 f(y) 乘 g(x - y) 對所有 y 的積分。這正是一個系統把源攤開的方式——餵進一個尖銳的輸入，與系統回應的卷積就給出被攤開的輸出。分布的卷積把這種混合延拓到點源與其他廣義對象上。

讓它說得通的乾淨辦法，仰賴 δ 是單位元：把任何東西與 δ 卷積都不會改變它，T 卷 delta 等於 T，因為 delta 集中在一點，所以那種抹開什麼也沒做。與平移 δ 卷積會平移對象；與 δ 的導數卷積會微分它。更一般地，卷積把微分變成一個你可以丟給任一因子的單一運算：T 卷 S 的導數，等於 T' 卷 S，也等於 T 卷 S'。不過有個真正的陷阱：兩個分布的卷積不總有定義——你需要一個支集條件，例如其中一個具緊支撐，好讓滑動的重疊保持受控。

卷積是基本解如何求解方程的核心。若 E 是線性常係數算子 L 的基本解（即 L 作用於 E 等於 delta），則對於源 f，方程 L u = f 的解就只是 u = E 卷 f。基本解是系統對點源的回應，而卷積把這個回應疊加到整個源上——把求解偏微分方程化為一個單一的抹開運算。