一階方程：恰當方程與代換
黎卡提方程（Riccati equation）
/ ree-KAH-tee /
黎卡提方程是因為一個 y 平方項而真正非線性的一階方程，而且不像白努利或齊次的情形，沒有任何代換能從零開始把它解出。它恰好處在初等方法能力的邊緣——並教給我們一個重要而誠實的教訓：有時你能做的最好的事，是善用一個你恰好已知的解。
其標準形式是 y' = q0(x) + q1(x) y + q2(x) y^2。y^2 項正是使它非線性且難纏的東西。關鍵事實是有條件的：「若」你能找到（或猜出，或被給定）一個特解 y1(x)，「則」代換 y = y1 + 1/v 就把黎卡提方程化約為關於 v 的一階「線性」方程，你用積分因子求解之。（等價地，y = y1 + u 把它變成關於 u 的 n = 2 白努利方程。）所以一個已知解就是全部關鍵——它把不可解化為例行公事。
為何它的意義不只是一則奇聞？因為黎卡提方程是一階非線性方程與二階線性方程之間的橋樑：代換 y = -w'/(q2 w) 把它變成關於 w 的線性二階方程，反之每個線性二階方程都藏著一個黎卡提方程。它出現在控制理論（矩陣黎卡提方程是最優控制的核心）、量子力學與幾何中——遠比它樸素的外表所暗示的重要。
對 y' = y^2 - 2/x^2，可看出特解 y1 = -1/x。代入 y = -1/x + 1/v 並化簡得線性方程 v' + (2/x) v = 1，其解與 y1 結合給出完整的單參數族。若沒有那個幸運的 y1，此方程便無法以初等方法求解。
一個已知解 y1 加上 y = y1 + 1/v，把黎卡提方程化為線性。
並無找出第一個特解 y1 的一般方法——那一步通常仰賴巧妙的猜測或特殊結構。沒有已知的 y1，黎卡提方程通常根本沒有封閉解。
又称
另见