一階線性方程（first-order linear equation）
一階線性方程是第二個重要的可解家族，這裡的「線性」有一個精確而樸素的意思：未知函數 y 與它的導數 y' 只以一次方出現，從不彼此相乘、平方，或被餵進像 sin 或 exp 這樣的函數。想像一個方程，其中 y 與 y' 都樸素地現身，各自頂多帶一個可能依賴 x 的係數——沒有 y^2，沒有 y y'，沒有 sin(y)。
標準形狀是 y' + p(x) y = q(x)。係數 p(x) 與右邊 q(x) 都是只含 x 的已知函數（可以是常數，或真正的 x 函數）。項 q(x) 是強迫項或輸入；當 q(x) = 0 時方程稱為齊次，且其實是可分離的，而非零的 q 使它成為非齊次。這個家族之所以如此友善，是因為它有一個保證有效的解法——積分因子——對任何連續的 p 與 q 都行得通，而不只是幸運的特例。你永遠不必靠猜。
線性是幾乎驅動全部初等常微分方程理論的性質，所以值得早早把這個概念定下來。一階線性方程可建模 RC 與 RL 電路、混合槽、以及環境隨時間變化的牛頓冷卻，它們的解有乾淨的結構（一個齊次部分加上一個特解）。誠實的對比是：像 y' = y^2 這樣的非線性一階方程可能在有限時間內爆破或失去解的唯一性，而線性方程由於其結構，根本不會出現這種行為。
y' + 3 y = 6 是線性的，p(x) = 3，q(x) = 6。相對地 y' + 3 y^2 = 6 是非線性的（y^2 項），而 y y' = x 也是非線性的（y 乘 y'）。只有第一個能用積分因子配方求解。
線性意味著 y 與 y' 以一次方出現且不混合；單一個平方項或乘積項就破壞了線性。
「線性」約束的是 y 與 y' 如何進入，而非 x 如何進入：p(x) 與 q(x) 對 x 可以極其非線性（如 e^x 或 sin x），方程對 y 仍然是線性的。