積分因子（integrating factor）
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積分因子是你乘到整個線性方程上、讓它突然變簡單的一個巧妙乘子。y' + p(x) y = q(x) 的左邊幾乎——但不完全——是某個乘積的導數。積分因子正是你乘上去的那個確切函數，使左邊塌縮成單一整齊的導數，之後方程便輕易可積。
它的工程原理如下。令 mu(x) = e^(p(x) 的積分)。把 y' + p(x) y = q(x) 的每一項都乘以這個 mu(x)。左邊變成 mu y' + mu p y，而由於 mu 被造成滿足 mu' = mu p（這正是 e^(p 的積分) 的作用——它的導數是 p 乘以自己），這恰好就是 (mu y)' 的乘積法則展開。於是方程變成 (mu(x) y)' = mu(x) q(x)：左邊現在是 mu 乘 y 的單純導數。對兩邊積分，除以 mu，你就得到 y。因子 mu 正是被設計來抵消乘積法則的。
積分因子是一階線性方法的核心，也是初等常微分方程中最令人滿足的技巧之一，因為它把一整個方程家族化成單一次積分。幾個誠實的提醒：在形成 p dx 的積分時你可以省略積分常數（任何一個反導數都行，因為 mu 的常數倍會抵消），但在最後積分 mu q 時你必須保留常數——通解的任意常數就住在那裡。另外，同樣的名稱「積分因子」也被借用於一個相關但不同的裝置，用來拯救非恰當方程；公式並不相同。
對 y' + (1/x) y = x：這裡 p = 1/x，所以 mu = e^((1/x) 的積分) = e^(ln x) = x。整個乘上去：x y' + y = x^2，其左邊是 (x y)'。於是 (x y)' = x^2，積分得 x y = x^3/3 + C，因此 y = x^2/3 + C/x。
選 mu = x，使左邊恰好成為導數 (x y)'——接著一次積分就完成工作。
積分因子只有在方程化為標準形 y' + p(x) y = q(x)、y' 的係數為 1 之後才管用。若你從 a(x) y' + b(x) y = c(x) 出發，要先除以 a(x)，否則你會用錯 p。