恢復恰當性的積分因子（integrating factor for exactness）
/ mu(x), Greek 'mew' /
假設恰當性判別失敗——partial M / partial y 不等於 partial N / partial x——所以方程寫出來沒有位勢。但別灰心：你或許能把整個方程乘上一個巧妙挑選的函數 mu(x, y)，使新的係數通過判別。那個神奇的乘子就是積分因子，記作 mu，它在不改變解曲線的前提下，把不恰當方程轉成恰當方程。
乘上後，方程成為 (mu M) dx + (mu N) dy = 0，而你要 partial(mu M)/partial y = partial(mu N)/partial x。一般而言這是一個關於 mu 的困難偏微分方程，但有兩個友善的特例能救場。若組合 (partial M/partial y - partial N/partial x)/N 只依賴 x，則 mu 只是 x 的函數，由 mu(x) = e^(該式對 x 的積分) 求得。對稱地，若 (partial N/partial x - partial M/partial y)/M 只依賴 y，則 mu 只是 y 的函數。任一情形下，你積分一個普通函數，乘遍全式，便可照常還原 F。
這與一階線性方程的積分因子是同一個想法的推廣：那裡因子 e^(p 的積分) 把左側收攏為一個乘積的導數；這裡 mu 把 M dx + N dy 收攏為一個真正的全微分 dF。誠實的限度在於並無萬用配方——當兩個特例都不適用時，找出 mu 可能與解原方程一樣難，這正是初等工具箱只能走到一定遠的原因。
方程 y dx + (2x - y e^y) dy = 0 不恰當（partial M/partial y = 1，partial N/partial x = 2）。試 y 的特例：(partial N/partial x - partial M/partial y)/M = (2 - 1)/y = 1/y，只依賴 y，故 mu(y) = e^(1/y 對 y 的積分) = y。乘上後得 y^2 dx + (2xy - y^2 e^y) dy = 0，現在恰當了。
當失配化簡為一個單變數的表達式時，mu 就只是它積分的 e 次方。
積分因子可能在 mu = 0 或 mu 爆掉之處引入或抹去解。乘上 mu 只在 mu 有限且非零的區域上是等價的，所以要檢查在那裡可能被加入或失去的曲線。