線性與非線性行為的對比（linear versus nonlinear behaviour）
線性與非線性一階方程不只是解法不同——它們的行為也不同，而且差異關乎解是否存在、是否唯一、能維持多久。了解這個對比，能讓你在計算任何東西之前就預知一個問題會有多乖。
線性方程 y' + p(x) y = q(x) 出奇地溫馴。在 p 與 q 連續的情況下，任何初值問題恰有一個解，該解在 p 與 q 連續的整個區間上存在，而且你能用保證有效的配方找到它。非線性方程 y' = f(x, y) 則一個承諾都不給。它們可能失去唯一性：y' = y^(1/3)，y(0) = 0 有 y = 0 與一個非零解都通過同一點，因為 f 在那裡對 y 不滿足李普希茨條件。它們可能在有限時間內爆破：y' = y^2，y(0) = 1 給出 y = 1/(1 - x)，當 x 趨近 1 時奔向無窮，儘管 f 完全光滑——存在區間因你無法從公式讀出的原因而縮小。而它們的解區間可能取決於初始資料本身，不像線性情形那樣區間由係數固定。
這個對比是本學科中最重要的定向事實之一。它正是線性理論如此完整、而非線性方程需要存在唯一性定理（說明解何時乖巧）、定性方法（不靠公式理解它們）、以及數值方法（因為封閉形式罕見）的原因。誠實的總結：線性一次買齊全域存在、唯一性與疊加；一旦放棄線性，這些保證每一個都可能失效，這正是常微分方程理論其餘部分豐富得多也困難得多的原因。
比較 y' = -y（線性）與 y' = y^2（非線性），各配 y(0) = 1。線性那個給出 y = e^(-x)，對所有 x 有定義。非線性那個給出 y = 1/(1 - x)，只在 x 小於 1 時存在並在那裡爆破——形式同樣簡單，命運截然不同。
線性解存活於完整的係數區間；非線性解可能爆破或分岔，區間由資料決定。
f 看起來光滑並不保證行為良好：y' = y^2 的右邊是多項式，卻在有限時間內爆破。光滑性給的是局部唯一性，而非全域存在。