一階線性方程的疊加原理（superposition）
疊加原理是讓你藉由把較簡單的解相加來建構線性方程解的規則，也是使線性理論如此井然有序的單一性質。在一階情境中它大致說：對組合輸入的反應就是反應的組合。你可以把問題拆成容易的片段，再把片段加起來。
更精確地，考慮線性算子 L[y] = y' + p(x) y。疊加有兩個面向。第一，對齊次方程 L[y] = 0：若 y_1 是解，則任何常數倍 c y_1 也是解；若 y_1 與 y_2 都是解，則 y_1 + y_2 也是——齊次方程的解構成一個整齊的一維家族（就是某個基本解的倍數）。第二，對強迫項：若 y_a 解 L[y] = q_a(x)，y_b 解 L[y] = q_b(x)，則 y_a + y_b 解 L[y] = q_a(x) + q_b(x)。所以你可以把複雜的右邊拆成片段，各自解出，再把特解加總。這一切之所以成立，是因為 L 尊重和與純量倍：L[a u + b v] = a L[u] + b L[v]。
疊加原理正是齊次加特解結構存在的原因，也是待定係數法等方法能逐項對付強迫項之和的原因。值得明白地強調其極限：疊加成立是因為方程是線性的。對像 y' = y^2 這樣的非線性方程，兩個解之和一般不是解，所以這套機器全不適用——這也正是非線性方程困難得多的一大原因。
要解 y' + y = 1 + e^(2x)，把強迫項拆開。解 y' + y = 1 得 y_p1 = 1，解 y' + y = e^(2x) 得 y_p2 = e^(2x)/3。則 y_p = 1 + e^(2x)/3 解組合方程，通解為 y = 1 + e^(2x)/3 + C e^(-x)。
拆開右邊，各自解每個強迫項，再把特解片段相加——這是疊加原理的直接回報。
疊加是嚴格屬於線性的特權。對 y' = y^2，若 y_1 與 y_2 是解，y_1 + y_2 幾乎絕不是——一旦方程非線性，相加解就不被允許。