二階線性方程（second-order linear equation）
你身邊看得見的運動，大多由二階方程支配，因為加速度（位置的二階導數）正是力所產生的東西。擺動的單擺、彈跳的彈簧、收音機電路裡的電流：每一個都遵守一條規則，把某個量的二階導數，與該量本身及其變化率連繫起來。二階線性方程，就是這類規則中最乾淨、最良好的版本。
其標準形式寫作 y'' + p(x) y' + q(x) y = g(x)，其中 y 是未知函數，p 與 q 是給定的係數函數，g(x) 是給定的強迫項。「線性」這個詞是關鍵承諾：y 及其導數只以一次方出現，絕不相乘、絕不被塞進正弦或平方裡。所以你永遠不會看到 y^2，或 y 乘以 y'，或 (y')^2，只有若干個（係數）乘以（y、y' 或 y''）之和。正是這一條限制，使整套優雅的理論成為可能。當 g(x) = 0 時稱為齊次方程；當 g(x) 不為零時稱為非齊次或受迫方程。
線性帶來一種非凡的結構。齊次解構成一個二維向量空間：只要找到兩個真正不同的解，其他每一個解都是它們的組合。非齊次的通解，便是一個特解，加上整個那個齊次解族。非線性二階方程毫無這些好處，只能逐例求解，往往只能靠數值方法，因此及早辨認出線性，就能告訴你哪些強大工具可以派上用場。
y'' + 3 y' + 2 y = 0 是二階、線性、齊次的。y'' + 2 y' + y = cos(x) 是線性、非齊次的。但 y'' + y y' = 0 與 y'' + sin(y) = 0 雖是二階卻是非線性的，前者把 y 乘以 y'，後者把 y 放進正弦裡。
判斷線性與否，看的是 y 及其導數如何出現，而非係數 p、q、g，它們可以是 x 的任意函數。
線性是對未知函數 y 的條件，而非對自變量 x 的條件：p(x)、q(x)、g(x) 可以是 x 的極度非線性的函數，方程仍稱為線性。