微分方程的階

微分方程有不同的複雜層次，最簡單的排序方式就是問：我們得把未知量微分幾次？只提到一階導數的方程是最溫和的一種。觸及二階導數的，就觸及了加速度、觸及了曲率。「階」只是用來標示方程深入到第幾層導數的標籤。

精確地說，微分方程的「階」是其中出現的「最高」階導數的階數。在 y' = k y 中，最高階導數是 y'，所以它是一階。在 y'' + 3 y' + 2 y = 0 中，最高是 y''，所以是二階——即使 y' 與 y 也出現，只有最高那個算數。一般的 n 階方程以 y^(n) 為最高階導數。階大致告訴你它的解有多少自由度：一階方程通常需要一個任意常數，二階需要兩個，n 階需要 n 個。

階是你面對任何新方程時第一件要確認的事，因為它決定了後續的一切：你必須給多少個初始條件才能釘住唯一解、通解帶有多少個任意常數、以及哪些求解方法才適用。一階與二階涵蓋了入門課程的絕大部分，因為大多數基礎物理定律——包括牛頓運動定律——在時間上都是二階的。