微分方程

想像你並不知道某樣東西在每一刻有多大，但你知道它「變化快慢」的規則。一個儲蓄帳戶：你也許沒有餘額的公式，卻知道它每年成長為自身的百分之三。一杯逐漸變涼的咖啡：你不知道十分鐘後的溫度，卻知道它越熱、散熱越快。微分方程正是這類陳述——一條關於變化率的規則——被寫成方程式的形式。

精確地說，微分方程是把一個未知函數與它自己的導數連結起來的方程式。這裡的未知量不是像 3x + 2 = 11 那樣的一個數，而是一整個函數，例如 y(x)，方程式把 y 和它的導數 y'、y'' 等等綁在一起。例如 y' = k y 是說「y 的變化率等於 k 乘以 y 本身」。解這個方程式，意思是找出能讓這個陳述處處成立的函數（可能不只一個），而不是找一個數。

這個單一概念是全部科學中最強大的工具之一，因為大自然幾乎總是用「變化率」的語言來表達它的定律。牛頓第二定律、傳染病的擴散、放射性樣本的衰變、單擺的擺動、電路中電流的流動——每一個都從一條微分方程開始。整門學科就是把一條關於變化的規則，重新還原成事物本身的描述的藝術。