齊次二階方程（homogeneous second-order equation）

想像一個沒人推的鞦韆。一旦放手，它仍會擺動，逐漸減速、振盪、停下，純粹靠它自身的內在規則（重力與摩擦），沒有任何外力之手。齊次二階方程描述的，正是這種自由、不受迫的行為：當沒有任何外力驅動時，系統的自然運動。

它就是把強迫項設為零的二階線性方程：y'' + p(x) y' + q(x) y = 0。右端為 0，正是它在此語境下被稱為「齊次」的原因，每一項都含有未知函數 y（或其導數），沒有任何項是獨立存在的。這帶來一個漂亮的結果。若 y1 與 y2 都是解，則對任意常數 c1、c2，c1 y1 + c2 y2 也是解，因為把和代入，不過是把你原已得到的兩個零相加。解集對加法與伸縮封閉，它是一個向量空間，而對一個適定的二階方程而言，這個空間恰好是二維的。

求解齊次方程，是每個線性問題不可或缺的前半部。即使你真正想解的是受迫方程 y'' + p y' + q y = g(x)，你也得先找出齊次（互補）解，再加上一個特解。所以齊次情形並非可以略過的暖身，它是整副骨架，本章其餘部分都建在它之上。