一階方程：恰當方程與代換
白努利方程（Bernoulli equation）
/ ber-NOO-lee /
白努利方程看起來幾乎就像友善的一階線性方程，只差右側多了一個頑固的 y 的冪次。它是「表面非線性、骨子裡線性」的標準範例：一個精選的代換就能剝除非線性，把一個可用慣常積分因子配方求解的線性方程還給你。
其標準形式是 y' + p(x) y = q(x) y^n，其中 n 為任意實數。n = 0 與 n = 1 這兩個值本來就是線性的，所以有趣的是其餘所有情形。冪次 y^n 正是破壞線性的東西。解藥是代入 v = y^(1 - n)：簡短的計算顯示這個新變數服從一個真正線性的方程，v' + (1 - n) p(x) v = (1 - n) q(x)。你用積分因子解出這個線性方程的 v(x)，再還原代換以取回 y。
白努利方程以雅各布·白努利命名，他在 1690 年代研究過它們，至今仍是大家的最愛，因為它是「非線性但可馴服」最乾淨的情形。喬裝過的邏輯斯諦人口模型，以及許多帶飽和的成長模型，都是白努利方程——這也是為何這技巧值得理解，而非只是死記。
解 y' + y = x y^2（此處 n = 2）。代入 v = y^(1 - 2) = 1/y，故 v' = -y'/y^2。方程化為 v' - v = -x，一個線性方程。其積分因子為 e^(-x)；解得 v = x + 1 + C e^x，所以 y = 1/(x + 1 + C e^x)。
一旦 v = y^(1-n) 把方程化為線性，冪次 y^n 便消失了。
當 n 為正時，常數函數 y = 0 也是一個解，但代換 v = y^(1-n) 除以 y 而把它藏了起來。當 n > 0 時，要另外補回 y = 0。
又称
另见