代換 v = y^(1-n)（Bernoulli substitution）
這是把白努利方程線性化的那個精確變數變換。面對 y' + p(x) y = q(x) y^n，你想讓那個惹事的冪次消失；代換 v = y^(1 - n) 正是為此而設計。它是（繼 v = y/x 之後）選取新變數使彆扭方程瞬間化為你已會的形式的第二大範例。
看它如何運作。把白努利方程兩邊除以 y^n：y^(-n) y' + p(x) y^(1-n) = q(x)。現在令 v = y^(1-n)。由連鎖律其導數為 v' = (1 - n) y^(-n) y'，所以 y^(-n) y' = v'/(1 - n)。代入後，方程成為 v'/(1 - n) + p(x) v = q(x)，再乘以 (1 - n) 得到乾淨的線性方程 v' + (1 - n) p(x) v = (1 - n) q(x)。現在每一項對 v 都是一次的——沒有冪次——所以標準積分因子配方適用。解出 v 後，藉由反轉 v = y^(1-n) 回到 y。
更深的教訓是：正確的代換不是魔法而是設計：你挑選 v，使它的導數恰好吸收掉那個麻煩的因子 y^(-n)。看出該吸收什麼，才是可遷移的本領——同樣的思路化簡黎卡提方程，也把方程化為可分離形式。
對 y' - (2/x) y = x^2 y^2（故 n = 2），v = y^(1-2) = y^(-1)。則 v' + (2/x) v = -x^2，一個積分因子為 x^2 的線性方程。求解：(x^2 v)' = -x^4，所以 x^2 v = -x^5/5 + C，最終 y = 1/v = x^2/(C - x^5/5)。
v 經設計使 v' 吸收掉 y^(-n) 因子，留下一個線性方程。
因子 (1 - n) 同時乘上線性方程中的 p 項與 q 項——白努利解算錯時，這裡的符號錯誤是常見元兇。並且記得 1 - n 可以是負的。