尼延赫斯張量（Nijenhuis tensor）
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你已在流形每個切空間上裝好了四分之一圈旋轉 J（一個殆複結構）。自然的問題：這群旋轉真能拼湊成貨真價實的全純座標概念，還是只是逐點製造的「複」之幻覺？尼延赫斯張量正是衡量這道阻礙的唯一裝置。它是由 J 與向量場的李括號構造出的張量，恰當殆複結構是某複流形如假包換的複結構時為零。
精確地說，對殆複結構 J，尼延赫斯張量 N_J 是把兩個向量場 X, Y 送到 N_J(X, Y) = [JX, JY] - J[JX, Y] - J[X, JY] - [X, Y] 的映射，其中 [.,.] 是李括號。雖然它以括號寫成，N_J 卻是張量性的——它在一點的值只取決於 X 與 Y 在該點的值，而不取決於其導數——所以它確實是一個張量（型別 (1,2)，對 X, Y 反對稱）。深層意義是：複化切向量按 J 分裂成 +i 特徵空間與 -i 特徵空間（即 (1,0) 與 (0,1) 部分），而 N_J 恰好衡量 (1,0) 特徵空間的分佈在李括號下不封閉的程度——也就是全純方向的弗羅貝尼烏斯可積條件失效的程度。
它的重要性集中於一條定理：紐蘭德-尼倫伯格定理說 J 可積（來自一套複圖冊）當且僅當 N_J 恆為零。在實維數 2 中，尼延赫斯張量因反對稱性而自動為零，這正是為何每個殆複曲面都是複曲線、每個可定向黎曼曲面都是黎曼曲面。一個常見混淆：N_J = 0 是複結構的條件，不是凱勒結構的條件——凱勒還額外要求某個相伴的 2-形式為閉，那是嚴格更強且依賴度量的要求。
R^{2n} 上的標準殆複結構 J_0（乘以 i）係數為常數，所以在座標向量場上所有李括號 [JX, JY]、[JX, Y]、[X, JY]、[X, Y] 都為零；因此 N_{J_0} = 0，而 R^{2n} = C^n 確實是複的。相對地，S^6 上來自八元數乘法的自然 J 給出不為零的 N_J，這證實它僅是殆複的，而非複的。
N_J 為零即證明可積性；S^6 上的八元數 J 其 N_J 不為零，故 S^6 僅是殆複的。
儘管以李括號寫成，N_J 確實是張量（逐點、不含導數）。而 N_J = 0 只給出複結構——它對度量隻字未提，更別說凱勒條件了。