紐蘭德-尼倫伯格定理（Newlander-Nirenberg theorem）
/ NOO-lander NEER-en-berg /
假設有人遞給你一個流形，其每個切空間裡都有一個光滑選定的四分之一圈旋轉 J，並問你：我能否找到局部複座標 z^1, ..., z^n，使得 J 恰好就是乘以 i？換言之，這個柔軟的殆複結構真的是某個如假包換複流形的影子嗎？紐蘭德-尼倫伯格定理徹底回答了這問題，而答案是一個只憑 J 就能算出的清晰是非判別。
定理陳述：光滑流形上的殆複結構 J 是可積的——亦即它來自一套使流形成為複流形的全純圖冊——當且僅當它的尼延赫斯張量 N_J 恆為零。等價地說，(1,0) 切分佈（J 的 +i 特徵空間）必須在李括號下封閉，這是弗羅貝尼烏斯型的對合條件。當 N_J = 0 時，定理保證全純座標圖卡的存在；其證明是貨真價實的硬分析（求解一個超定的一階偏微分方程組，需要細緻的估計），這正是為何它遠比它所推廣的光滑弗羅貝尼烏斯定理更深刻。在實解析範疇中此結果更早且更容易（弗羅貝尼烏斯／柯西-柯瓦列夫斯卡婭）；光滑（C-無窮）情形才是著名的 1957 年紐蘭德-尼倫伯格成就。
它的意義在於把一個困難的整體問題——「此流形是否容許與 J 相容的複結構？」——轉化為逐點的張量計算。它也解釋了一個維數奇蹟：在實維數 2 中，N_J 自動為零，所以曲面上每個殆複結構都可積，而選定一個共形結構與選定一個複結構是同一回事（每個可定向黎曼曲面都是黎曼曲面）。一點提醒：此定理判定 J 的可積性，但它本身並不產生度量或任何凱勒性質——那些是堆疊在純複流形結構之上的額外層次。
取環面 C / L，其中 L 是一個格。從 C 繼承來的平坦 J 係數為常數，故 N_J = 0；紐蘭德-尼倫伯格定理確認它是如假包換的複流形（一條橢圓曲線）。不同的格可給出相同的光滑環面，卻給出不等價的複結構——N_J = 0 解決了「是否為複」，而你得到哪個複結構則是模空間的事（j 不變量）。
N_J = 0 證明複結構存在；你得到的是哪一個（模空間）則是另一回事。
光滑範疇的證明是困難的偏微分方程；別把它與容易的實解析弗羅貝尼烏斯版本混為一談。而它只證明複結構存在——它不給度量，也不給凱勒條件。