形式的 (p,q) 型分解（(p,q)-type decomposition）

在複流形上，座標微分有兩種風味：全純的 dz^1, ..., dz^n 與它們的共軛 d(z-bar)^1, ..., d(z-bar)^n。任何微分形式都可按它含有各種微分的個數加以分類。由 p 個 dz 與 q 個 d(z-bar) 構成的形式，稱為具有型別 (p,q)，或雙次數 (p,q)。(p,q) 分解就是把每個複值微分形式拆成這些純型別碎片的記帳法——它是複幾何中最有用的單一組織原則。

精確地說，複化切空間透過殆複結構 J 分裂成 +i 特徵空間（全純方向）與 -i 特徵空間（反全純方向）。對偶之後，複化的 k-形式分裂成所有 p + q = k 的 (p,q)-形式空間之直和，寫成叢的和 Lambda^{p,q}。一個 (p,q)-形式在局部看起來像若干項之和：f 乘以 (dz^{i_1} ^ ... ^ dz^{i_p}) ^ (d(z-bar)^{j_1} ^ ... ^ d(z-bar)^{j_q})，係數 f 光滑。外微分 d 於是分裂成 d = partial + partial-bar，其中 partial 把 p 升 1、partial-bar 把 q 升 1——這個分裂正是使多爾博算子有良好定義的關鍵，而它之所以可用，恰恰因為 J 可積（紐蘭德-尼倫伯格）；在不可積的殆複流形上，d 有額外分量，乾淨的分裂便失效。

這個分解正是為何複流形比其底下的實流形帶有嚴格更多的上同調資訊：德拉姆上同調被雙次數細化為多爾博上同調，而在緊凱勒流形上，兩者由霍奇分解 H^k = sum over p+q=k of H^{p,q} 相連。一個常見失誤：形式的 (p,q) 分裂在任何殆複流形上都存在，但乾淨的因式分解 d = partial + partial-bar（沒有其他分量）需要可積性；少了它，d 還有來自尼延赫斯張量的 (2,-1) 與 (-1,2) 部分。