多爾博算子（Dolbeault operators）
/ dol-BOH /
在複流形上，尋常的外微分 d 可拆成兩半，各自尊重複結構：一半在全純方向求導，另一半在反全純方向求導。這兩半就是多爾博算子，寫作 partial（del）與 partial-bar（del-bar）。其中第二個 partial-bar 是複幾何的主角：一個函數是全純的，恰當 partial-bar f = 0，所以 partial-bar 是把柯西-黎曼方程包裝成單一算子、推廣到整個流形的版本。
精確地說，利用 (p,q) 型分解，複流形上的外微分因式分解為 d = partial + partial-bar，其中 partial 把 (p,q)-形式送到 (p+1,q)-形式、partial-bar 把它送到 (p,q+1)-形式。在局部全純座標下，partial f = sum (df/dz^i) dz^i、partial-bar f = sum (df/d(z-bar)^j) d(z-bar)^j。由於 d^2 = 0，且 partial^2、partial partial-bar + partial-bar partial、partial-bar^2 三者的雙次數各不相同，每一塊各自為零：partial^2 = 0、partial-bar^2 = 0、且 partial partial-bar = -partial-bar partial。關係式 partial-bar^2 = 0 使 partial-bar 成為一個微分，讓我們能構造多爾博上同調。關鍵在於這一切都建立在可積性之上（紐蘭德-尼倫伯格）；在不可積的殆複流形上，partial-bar^2 一般不為零。
它們為何重要：全純函數與全純截面恰恰是被 partial-bar 殺掉的那些，所以求解非齊次方程 partial-bar u = f（「del-bar 問題」）是本學科核心的解析引擎——它產出具有指定行為的全純函數，支撐全純龐加萊（多爾博-格羅滕迪克）引理，並透過 L^2 估計（赫爾曼德、孔恩）驅動線叢截面的存在定理。一個常見混淆：partial-bar f = 0 刻畫全純的 f，但 partial-bar 作用在更高的 (p,q)-形式上時，衡量的是某種上同調量，而非「全純性」；而且除非小心你作用在哪個叢上，partial 並不是 partial-bar 的複共軛。
在座標為 z 的 C 上，取 f(z, z-bar) = z (z-bar) = |z|^2。則 partial f = (z-bar) dz、partial-bar f = z d(z-bar)。由於 partial-bar f 不為零，|z|^2 並非全純——正確，它是實值且非常數的。相對地，f(z) = z^2 有 partial-bar f = 0，確認它是全純的。
partial-bar f = 0 是柯西-黎曼檢驗：|z|^2 不通過，z^2 通過。
partial-bar^2 = 0（定義上同調所需）成立，是因為複結構可積。在僅為殆複的流形上，partial-bar^2 未必為零，故沒有通常意義下的多爾博上同調。