全純線叢（holomorphic line bundle）

在複流形的每一點上貼一條一維複線（一份 C），逐點光滑地扭轉，扭轉方式由全純的黏合規則記錄下來。這就是全純線叢。圓柱（不扭）與莫比烏斯帶（扭一次）是卡通式的實圖像；在複流形上，那條線是複的，黏合函數是處處不為零的全純函數。線叢是談論「不太算函數的函數」不可或缺的詞彙——像亞純函數、西塔函數，以及你用來把簇嵌入的正叢的截面這類對象。

精確地說，複流形 M 上的全純線叢 L 由一個開覆蓋 U_a 與全純轉移函數 g_{ab}: U_a 交 U_b -> C^*（非零複數）給定，並在三重重疊上滿足上閉鏈條件 g_{ab} g_{bc} = g_{ac}。全純截面是在每根纖維中全純地選一個點——局部上是一個全純函數 s_a，在重疊處滿足 s_a = g_{ab} s_b。全純線叢的全體在張量積下構成一個群（對偶叢是逆元，平凡叢是單位元）；這個群就是皮卡群 Pic(M)。在緊流形上，L 最重要的不變量是它的第一陳類 c_1(L)，屬於 H^2(M, Z)，它衡量該叢的拓樸扭轉，並連同一個度量一起衡量它的曲率。

線叢之所以是重頭戲，是因為緊流形上的整體全純函數只有常數——所以要獲得豐富的全純對象，你得容許受控的極點與零點，而這恰恰是線叢截面所編碼的。截面空間的維數 h^0(M, L) 及其更高的上同調，由黎曼-羅赫計算，並由消失定理掌控。一個常見混淆：線叢的截面不是 M 上的函數（它們棲身於扭轉的叢中），而一個非平凡線叢可能根本沒有任何非零整體全純截面（例如曲線上負次數的叢）。