頸縮奇異性（neck-pinch singularity）

想像一個啞鈴形的曲面：兩個圓胖的球團由一條細頸連接。現在跑里奇流，它讓高曲率區域收縮得最快。頸部是彎得最尖的部分，所以它比兩側的球團收縮得更快——而且它持續收縮、越來越細，直到在有限時間內收成一點，流形試圖一分為二。那個收縮點就是頸縮奇異性，是里奇流變奇異最簡單也最重要的方式，也是手術必須處理的一切的原型。

具體地說，在頸縮附近的幾何，經重新縮放後，看起來像一個收縮中的標準柱面 S^{n-1} x R——一條「頸」，其橫截球面坍縮而長軸方向大致保持不變。當奇異時間 T 趨近時，頸上的曲率以 1/(T - t) 的速率爆炸（第一型速率），橫截面 S^{n-1} 的度量收縮到零半徑。模型解是收縮標準球面乘以一條直線，它是里奇流的一個自相似（梯度收縮孤立子）解，而 Angenent 與 Knopf 嚴格證明了啞鈴度量上確實會形成真正的頸縮。退化頸縮是更微妙的變體，其中一側在頸收縮的同一瞬間封口，產生類似尖點的模型而非乾淨的柱面。

頸縮之所以重要，是因為它們正是 Hamilton 與 Perelman 的手術所設計要切除並修復的奇異性：你等到某條頸夠細、其幾何可證明地接近標準柱面模型，然後沿著頸切開、黏上兩個光滑的圓帽，讓流越過奇異時間繼續下去。誠實的微妙之處是：並非每個里奇流奇異性都是頸縮——還有更複雜的奇異性模型——但 Perelman 的典範鄰域定理顯示，在三維中每個高曲率區域經重新縮放後都接近一條頸、一個帽或一個閉模型，這正是三維手術之所以可行的原因。不要假設啞鈴圖像捕捉了高維中所有的奇異行為，那裡的奇異性「動物園」確實更大。