幾何化猜想
曲面的方案優美而簡單：每個閉曲面是球面、環面或多孔曲面，且各得恰一種均勻幾何。瑟斯頓提出三維流形遵循一個類似、只稍微繁複些的方案：把任意閉三維流形沿一組典範的球面與環面切開，每片所得碎塊各承載八種模型幾何之一。幾何化就是這個統御性的夢想，如今已是定理，把狂野的三維流形動物園馴化為幾何積木。
精確地說：每個閉可定向三維流形都可先沿有限組互不相交的嵌入二維球面切成素片（連通和或克奈瑟-米爾諾分解），再把每個素片沿一組典範的極小、互不相交的不可壓縮環面切開（JSJ 分解），使每個剩下的碎塊或為塞弗特纖維、或承載以八種瑟斯頓幾何之一為模型的完備有限體積幾何結構。等價地：每片內部承載一個齊性黎曼度量，局部等距於 S^3、E^3、H^3、S^2 x R、H^2 x R、SL(2,R) 萬有覆疊、Nil 或 Sol 之一。雙曲幾何 H^3 是一般且最豐富的情形。
它由瑟斯頓於 1980 年前後提出（他證明了哈肯流形的情形），並由格里戈里·佩雷爾曼於 2002-03 年用哈密頓的里奇流加手術完整證明。幾何化把龐加萊猜想含作特例：單連通閉三維流形幾何化為 S^3 對平凡群的商，故就是 S^3 本身。誠實的告誡是：證明並非「只是把一切撫平」——三維流形上的里奇流會發展出奇異性（頸部夾斷），而佩雷爾曼的手術——必要時無窮次施行——正是沿幾何分解切割之所為。
取連通和（T^3）#（八字結補填補成的閉流形）。幾何化先沿一個二維球面把連通和分成兩個素加項。T^3 那片是 E^3 型的幾何；曾為雙曲的那項是 H^3 型的幾何。整個流形上沒有單一齊性度量行得通——球面分解是被迫的，而兩片穿戴不同的幾何。
幾何化的實作：一個連通和沿球面分成一片 E^3 與一片 H^3。
自 2003 年起，幾何化是定理（佩雷爾曼）而非猜想——但它「並非」說每個三維流形都是幾何的；它說每個三維流形都典範地分解成數片幾何塊。里奇流的證明之所以需要手術，正因為單靠流會形成奇異性、無法無人協助地永遠運行。